Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$1) \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy Schwarz dạng Engel ta có :
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}=\dfrac{(1+1)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}(đpcm)$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b$
$2)(a+b).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\geq 4$
$2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\geq 4$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
$2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\geq 2.\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}+2=2.\sqrt{1}+2=4(đpcm)$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
$3)\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{9}{a+b+c}$
Áp dụng BĐT Cauchuy Schwarz dạng Engel ta có :
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{1^2}{c}=\dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}(đpcm)$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
