Cách giải:
$n^{5}m-nm^{5}$
$=n^{5}m-nm+nm-nm^{5}$
$=mn(n^{4}-1)-nm(m^{4}-1)$
$=mn(n^2-1)(n^2+1)-nm(m^2-1)(m^2+1)$
$=mn(n-1)(n+1)(n^2+5-4)-[nm(m-1)(m+1)(m^2-4+5)]$
$=mn(n-1)(n+1)(n^2-4)+5mn(n-1)(n+1)-[nm(m-1)(m+1)(m^2-4)+5nm(m-1)(m+1)]$
$=mn(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5mn(n-1)(n+1)-[nm(m-1)(m+1)(m-2)(m+2)+5nm(m-1)(m+1)]$
Vì $n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số là bội của 2,1 số là bội của 3,1 số là bội của 5
$\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) \vdots 30$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số là bội của 2,1 số là bội của 3
$\to n(n-1)(n+1) \vdots 6$
$\to 5n(n-1)(n+1) \vdots 30$
$\to mn(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5mn(n-1)(n+1) \vdots 30$
Hoàn toàn tương tự:
$nm(m-1)(m+1)(m-2)(m+2)+5nm(m-1)(m+1) \vdots 30$
$\to mn(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5mn(n-1)(n+1)-[nm(m-1)(m+1)(m-2)(m+2)+5nm(m-1)(m+1)] \vdots 30$
Hay $n^{5}m-nm^{5} \vdots 30(m,n \in Z)$
