Gọi $a,b,c$ lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác $(a,b,c < 1)$
Ta có:
$a + b - c > 0$
$a +c -b >0$
$b + c - a >0$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$(a+b - c)(a + c - b) \leq \dfrac{1}{4}(a +b -c + a + c - b)^2 = a^2$
$(a +c - b)(b+ c - a) \leq \dfrac{1}{4}(a + c - b + b + c - a)^2 = c^2$
$(b+c-a)(a +b -c) \leq \dfrac{1}{4}(b+c-a+a+b-c)^2 = b^2$
Nhân vế theo vế, ta được:
$[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^2 \leq (abc)^2$
$\to (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc$
$\to (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc(a+b+c)$
$\to \dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}}{4} \leq \dfrac{\sqrt{abc(a+b+c)}}{4} < \dfrac{\sqrt{1.1.1(1+1+1)}}{4}$
$\to S < \dfrac{\sqrt3}{4}$
(Công thức $Heron: S = \dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}}{4} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p = \dfrac{a+b+c}{2}$)
