Xét hiệu : $a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 - (a_1+a_2+a_3)$
$ = a_1.(a_1^4 - 1) + a_2.(a_2^4-1) + a_3.(a_3^4 - 1)$
$ = a_1.(a_1-1).(a_1+1).(a_1^2 + 1) + a_2.(a_2-1).(a_2+1).(a_2^2 + 1) + a_3.(a_3-1).(a_3+1).(a_3^2 + 1) $
Xét : $x.(x-1).(x+1).(x^2 + 1)$
Dễ thấy $x.(x-1).(x+1) \vdots 6$ nên $x.(x-1).(x+1).(x^2 + 1) \vdots 6$
Ta cần chứng minh $x.(x-1).(x+1).(x^2 + 1) \vdots 5$
Thật vậy có : $x.(x-1).(x+1).(x^2 + 1) = $x.(x-1).(x+1).(x^2 -4 + 5)$
$ = $x.(x-1).(x+1).(x-2).(x+2) + 5.x.(x-1).(x+1) \vdots 5$
Vậy nên : $x.(x-1).(x+1).(x^2 + 1) \vdots 30$
Áp dụng vào bài toán thì ta có : $a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 - (a_1+a_2+a_3) \vdots 30$
Mà : $a_1+a_2+a_3 \vdots 30$
Nên : $a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 \vdots 30$
$\to đpcm$
