Lời giải:
Điều kiện a,n,b,c là những số nguyên.
Ta có:
\(P=n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)
Ta thấy n(n-1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow P=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 2(1)\)
Ta thấy \(n(n-1)(n+1)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)
\(\Rightarrow P\vdots 3(2)\)
Mặt khác: \(P=n(n^2-1)(n^2+1)\)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia cho 5 thì dư 0,1,4
Nếu \(n^2\) chia 5 dư 0, suy ra \(n\vdots 5\) \(\Rightarrow P\vdots 5\)
Nếu \(n^2\) chia 5 dư 1 thì \(n^2-1\vdots 5\), suy ra \(P\vdots 5\)
Nếu \(n^2\) chia 5 dư 4 thì \(n^2+1\vdots 5\), suy ra \(P\vdots 5\)
Vậy tóm lại \(P\vdots 5\) (3)
Từ \((1);(2);(3)\) mà 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(P\vdots 60\) (đpcm)
\(B=a^5-a\) giống y hệt phần chứng minh \(P\vdots 5\) ở trên
