Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\left( {a - 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 12 = a.\left( {a + 2} \right) - 1.\left( {a + 2} \right) + 12\\
= {a^2} + 2a - a - 2 + 12 = {a^2} + a + 10
\end{array}\)
Ta có:
a là số nguyên nên a có 1 trong 3 dạng \(3k;\,\,3k + 1;\,\,3k + 2,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Nếu \(a = 3k\), ta có:
\({a^2} + a + 10 = {\left( {3k} \right)^2} + 3k + 10 = 3.\left( {3{k^2} + k + 3} \right) + 1\), không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 9.
Nếu \(a = 3k + 1\), ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} + a + 10 = {\left( {3k + 1} \right)^2} + \left( {3k + 1} \right) + 10\\
= \left( {3k + 1} \right).\left( {3k + 1} \right) + 3k + 1 + 10\\
= 9{k^2} + 3k + 3k + 1 + 3k + 1 + 10\\
= 9{k^2} + 9k + 12
\end{array}\)
\(9{k^2} + 9k + 12\) không chia hết cho 9 nên \({a^2} + a + 10\) không chia hết cho 9
Nếu \(a = 3k + 2\), ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} + a + 10 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + \left( {3k + 2} \right) + 10\\
= \left( {3k + 2} \right).\left( {3k + 2} \right) + 3k + 2 + 10\\
= 9{k^2} + 6k + 6k + 4 + 3k + 12\\
= 9{k^2} + 15k + 16
\end{array}\)
\(9{k^2} + 15k + 16\) không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 9. Hay \({a^2} + a + 10\) không chia hết cho 9
