Ta có
$A = a^5 - a = a(a^4-1)$
$= a(a^2-1)(a^2+1)$
$= a (a-1)(a+1)(a^2+1)$
Để cminh A chia hết cho 30, ta cần cminh nó chia hết cho 5 và 6.
Trước hết, ta cminh A chia hết cho 5.
Thật vậy, ta có $A = a(a^2-1)(a^2+1)$. Nếu $a \vdots 5$ thì hiển nhiên $A \vdots 5$.
Với $a$ ko chia hết cho 5, thì $a^2$ có tận cùng là 1, 4, 6, 9. Khi đó, $a^2+1$ có tận cùng là 2, 5, 7, 0 và $a^2-1$ có tận cùng là 0, 3, 5, 8.
Khi đó, $(a^2-1)(a^2+1)$ có tận cùng là 0 hoặc 5. Do đó $A$ chia hết cho 5.
Mặc khác, ta để ý rằng $a(a-1)(a+1)$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3.
Vậy $a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 2 và3.
Do đó $A$ chia hết cho 6.
Vậy $A$ chia hết cho $BCNN(5,6) = 30$.
