Ta có $ a^2 > a^2 - 1 = ( a - 1).(a + 1) $
=> $\frac{1}{a^2}$ < $\frac{1}{( a - 1).(a + 1)}$ = ($\frac{1}{a - 1}$ - $\frac{1}{a + 1}$ ). $\frac{1}{2}$
Áp dụng biếu thức trên ta có :
$\frac{1}{1^2}$ + $\frac{1}{2^2}$ + $\frac{1}{3^2}$ + ... + $\frac{1}{n^2}$ < $\frac{1}{1^2}$ + $\frac{1}{2^2}$ + $\frac{1}{2.4}$ + ... + $\frac{1}{( n-1)(n+1)}$
< $\frac{1}{1^2}$ + $\frac{1}{2^2}$ + ( $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{3}$ -$\frac{1}{5}$ + ... + $\frac{1}{n-1}$ - $\frac{1}{n +1}$ ).$\frac{1}{2}$
< $\frac{1}{1^2}$ + $\frac{1}{2^2}$ + ( $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{n-1}$ - $\frac{1}{n }$ ).$\frac{1}{2}$
< $\frac{5}{3}$ - ($\frac{1}{n}$ + $\frac{1}{n+1}$ ) <$\frac{5}{3}$
