Câu này dành cho những người có hứng thú với bất đẳng thức nhé. Hãy liệt kê ra ít nhất 5 bất đẳng thức hay dùng làm bất đẳng thức phụ, hoặc bất đẳng thức nổi tiếng và thỏa mãn các điều kiện dưới. Nếu bình luận thì không giới hạn hay bắt buộc gì về số lượng cả đâu nhé, đóng góp vào đây cho nhưng người thích bất đẳng thức sử dụng thôi :) 1. Dễ, ngắn gọn (tức không có nguyên phân, đạo hàm,...). Ví dụ như chứng minh $\sum \dfrac{1}{a+b}\geqslant \sum \dfrac{6}{11+a^3}$ với `0<a,b,c<=1` hoàn toàn không phải một bất dễ, nó là một bài toán rồi :v 2. Áp dụng cho bậc THCS, tức là không có đạo hàm, nguyên phân,.... (có thể sử dụng kí hiệu tổng tích cho ngắn gọn) 3. Không trùng với những bất mình liệt kê sau đây và mình hoặc một số người khác đã liệt kê ở bình luận. a) Bất đẳng thức Cô-si cơ bản và các dạng quen thuộc: `\ast (x_1+x_2+...x_n)/n >=\root{n}{x_1 . x_2 . ... . x_n} ` Dấu bằng xảy ra khi `x_1=x_2=...=x_n` `\ast 2xy<=x^2+y^2` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` `\ast xyz<=((x+y+z)/3)^3` Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z` `\ast xy<=(x+y)^2/4 ` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` `**)` Lưu ý rằng các biến là các số thực dương b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các dạng quen thuộc: `\ast (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2<=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)` Dấu bằng xảy ra khi `(a_1)/(b_1)=(a_2)/(b_2)=...=(a_n)/(b_n)` `\ast (x+y)^2<=2(x^2+y^2)` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` `\ast \sqrt{x}+\sqrt{y}<=\sqrt{2(x+y)}` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` `\ast \sqrt{x+y}>=(\sqrt{x}+\sqrt{y})/\sqrt{2}` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` `\ast (x^{n+1}+y^{n+1})/(x^n+y^n)>=(x^n+y^n)/(x^{n-1}+y^{n-1})` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` c) `\sqrt{x}+\sqrt{y}>=\sqrt{x}+\sqrt{y}` Chứng minh bằng cách bình phương rồi chuyển vế sẽ có `\sqrt{xy}>=0` Dấu bằng xảy ra khi `(x;y)=(0;t)` d) `(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca) ` Bất đẳng thức này tương đương với `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` e) `(ab+bc+ca)^2>=3abc(a+b+c)` Bất đẳng thức này tương đương với `(ab-ac)^2 + (ab-bc) + (bc-ac)^2 >=0` (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` f) `(a+b+c)(ab+bc+ca)>=9abc ` Chứng minh bằng Cô-si ba số với `a+b+c` và `ab+bc+ca` Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` g) Bất đẳng thức 8-9: `(a+b)(b+c)(c+a) >=8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)` Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` h) `x^3+y^3>=xy(x+y)` với `x;y` không âm Nó tương đương `(x+y)(x-y)^2>=0` (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi `x=y` Bổ sung lần 1) `1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2` Chứng minh: `1/a^2+1/b^2>=2/(ab)>=8/(a+b)^2` Dấu bằng xảy ra khi `a=b` Bổ sung lần 1) `x^2-xy+y^2>=1/4(x+y)^2` Nó tương đương với `(x-y)^2>=0` (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi `x=y` Bổ sung lần 1) `x^2+xy+y^2>=3/4(x+y)^2` Nó tương đương với `(x-y)^2>=0` (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi `x=y` i) Bất đẳng thức Nesbit cơ bản `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2` Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` j) Bất đẳng thức cộng mẫu và các dạng quen thuộc `\ast (a_1^2)/(b_1)+(a_2^2)/(b_2)+...+(a_n^2)/(b_n)>=(a_1+a_2+...+a_n)^2/(b_1+b_2+...+b_n)` với `b_1,b_2,...,b_n>0` Dấu bằng xảy ra khi `(a_1)/(b_1)=(a_2)/(b_2)=...=(a_n)/(b_n)` `\ast 1/x+1/y>=4/(x+y)` Dấu bằng xảy ra khi `x=y` `\ast 1/x+1/y+1/z>=9/(x+y+z)` Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z` `\ast a^2/x+b^2/y+c^2/x>=(a+b+c)^2/(x+y+z)` Dấu bằng xảy ra khi `a/x=b/y=c/z` k) Bất đẳng thức Schur và các dạng quen thuộc `\ast a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)>=0 ` Đặc biệt, dấu bằng có thể xảy ra ở một hoặc cả hai trường hợp `a=b=c` hoặc `(a;b;c)=(0;t;t)` và các hoán vị `\ast a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)` `\ast 4(a^3+b^3+c^3)+15abc>=(a+b+c)^3` `\ast abc>=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)` `\ast a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)>=2(ab+bc+ca)` `\ast (a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)` `\ast a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/((a+b)(b+c)(c+a))>=2` `\ast (b-c)^2(b+c-a)+(c-a)^2(c+a-b)+(a-b)^2(a+b-c) >= 0` `\ast a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) >= ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)` `\ast 6abc(a+b+c)>=[2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)][a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca]` l) Bất đẳng thức Holder và các dạng quen thuộc: `\ast (a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m` Với `a_{i_j}>0` mà `i=\overline{1,m};j=\overline{1,n}` Dấu bằng xảy ra khi `a_{1_1}:a_{2_1}:...:a_{m_1}=a_{1_2}:a_{2_2}:...:a_{m_2}=...=a_{1_n}:a_{2_n}:...:a_{m_n}` `\ast (a^3 + b^3 + c^3) (x^3 + y^3 + z^3) (m^3 + n^3 + p^3) >= (axm + byn + czp)^3` với `a, b, c, x, y, z, m, n, p` là các số thực dương Dấu bằng xảy ra khi `a:x:m=b:y:n=c:z:n` m) Bất đẳng thức Chebyshev Với dãy số thực `a_1>=a_2>=...>=a_n` Nếu `b_1>=b_2>=...b_n` thì `(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)<=n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)` Nếu `b_1<=b_2<=...<=b_n` thì `(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)>=n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)`

hai nhân tố quyết định đến sự tiến hóa của loài người?

1. Alexander Graham Bell ....... in demonstrated his invention . ( success) 2. Be careful to cover the ......... sockets for the safely of the children. (electric) 3. Hoa is ....... kind to everyone ( extreme) 4. He is worried about the ....... of all the electric appliances in her house (safe)

số bé nhất có 1 chữ số là số nào

Một hình chữ nhật có diện tích là 15/16 m², chiếu dài là 1 và 1/4m. Tính chu vi của hình chữ nhật đó.

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số mà tất cả các chữ số của số đó đều giống nhau

Mọi người ơi giúp mình câu này với ạ huhu:(((

Cho dung dịch K2 CO3 10% tác dụng với 300 gam dung dịch h2 SO4 19,6%. Phản ứng xong thu được 3,36 lít khí (điều kiện tiêu chuẩn). Tính nồng độ phần trăm các chất có trong dung dịch sau phản ứng Giúp mik vs ạ cần gấp

Đề : chọn đáp án đúng Làm từ câu 17-20 ạ ( giải thích hộ e :'((( )

......................................