Có $6$ học sinh lớp$11$ và$3$ học sinh lớp$12$ được xếp ngẫu nhiên vào$9$ ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được$3$ học sinh lớp$12$ xen kẽ giữa$6$ học sinh lớp$11$. A. $\frac{5}{12}.$ B. $\frac{7}{12}.$ C. $\frac{1}{1728}.$ D. $\frac{5}{72}.$
Đáp án đúng: A Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả $9$ học sinh vào một ghế dài. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là$\displaystyle \left| \Omega \right|=9!$. Gọi$A$ là biến cố "Xếp$3$ học sinh lớp$12$ xen kẽ giữa$6$ học sinh lớp$11$". Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố$A$ như sau: ● Đầu tiên xếp$6$ học sinh lớp$11$ thành một dãy, có$6!$ cách. ● Sau đó xem$6$ học sinh này như$6$ vách ngăn nên có$7$ vị trí để xếp$3$ học sinh lớp$12$ (gồm$5$ vị trí giữa$6$ học sinh và$2$ vị trí hai đầu). Do đó có$\displaystyle A_{7}^{3}$ cách xếp$3$ học sinh lớp$12$. Suy ra số phần tử của biến cố$A$ là$\displaystyle \left| {{\Omega }_{A}} \right|=6!.A_{7}^{3}$. Vậy xác suất cần tính$\displaystyle P\left( A \right)=\frac{\left| {{\Omega }_{A}} \right|}{\left| \Omega \right|}=\frac{6!.A_{7}^{3}}{9!}=\frac{5}{12}.$ Chọn đáp án A.