Đáp án + giải thích các bước giải:
`a^3 \root{3}{((bc)/(b^2-bc+c^2))^2}=\root{3}{(a^9b^2c^2)/(abc(b^2-bc+c^2)^2)}=\root{3}{a^6/(bc(b^2-bc+c^2))^2}=a^2/\root{3}{bc(b^2-bc+c^2)^2}`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`bc(b^2-bc+c^2)^2<=((bc+b^2-bc+c^2+b^2-bc+c^2)/3)^3`
`->\root{3}{bc(b^2-bc+c^2)^2}<=(2b^2-bc+2c^2)/3`
`->a^2/\root{3}{bc(b^2-bc+c^2)^2}>=a^2/((2b^2-bc+2c^2)/3)=(3a^2)/(2b^2-bc+2c^2)`
Tương tự, ta có:
`a^3 \root{3}{((bc)/(b^2-bc+c^2))^2}+b^3 \root{3}{((ca)/(c^2-ac+a^2))^2}+c^3 \root{3}{((ab)/(a^2-ab+b^2))^2}>=(3a^2)/(2b^2-bc+2c^2)+(3b^2)/(2c^2-ca+2a^2)+(3c^2)/(2a^2-ab+2b^2)=(3a^4)/(2a^2b^2-a^2bc+2a^2c^2)+(3b^4)/(2b^2c^2-b^2ca+2b^2a^2)+(3c^4)/(2c^2a^2-c^2ab+2c^2b^2)`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`(3a^4)/(2a^2b^2-a^2bc+2a^2c^2)+(3b^4)/(2b^2c^2-b^2ca+2b^2a^2)+(3c^4)/(2c^2a^2-c^2ab+2c^2b^2)>=3(a^2+b^2+c^2)^2/(4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab)`
Ta sẽ chứng minh `(a^2+b^2+c^2)^2>=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab`
`->a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2+a^2bc+b^2ac+c^2ab>=0`
`->a^4-a^3b-a^3c+a^2bc++b^4-b^3a-b^3c+b^2ac+c^4-c^3a-c^3b+c^2ab+a^3b-2a^2b^2+ab^3+b^3c-2b^2c^2+bc^3+c^3a-2a^2c^2+ca^3>=0`
`->a^2(a^2-ab-ac+bc)+b^2(b^2-ab-bc+ac)+c^2(c^2-ac-bc+ab)+ab(a^2-ab+b^2)+bc(b^2-bc+c^2)+ca(c^2-2ac+a^2)>=0`
`->a^2(a-c)(a-b)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-b)(c-a)+ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ca(c-a)^2>=0`
Giả sử không mất tính tổng quát `a>=b>=c`, bất đẳng thức trên luôn đúng vì nó tương đương với
`(a-b)[a^2(a-c)-b^2(b-c)]+c^2(c-b)(c-a)+ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ca(c-a)^2>=0` (luôn đúng)
Vậy `(a^2+b^2+c^2)^2>=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab`
`->3(a^2+b^2+c^2)^2/(4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab)>=3`
`->a^3 \root{3}{((bc)/(b^2-bc+c^2))^2}+b^3 \root{3}{((ca)/(c^2-ac+a^2))^2}+c^3 \root{3}{((ab)/(a^2-ab+b^2))^2}>=3 `
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`
