a) Xét $ΔOBH$ và $ΔODA$:
$BO=DO(gt)$
$AO=OH$ (O là trung điểm $AH$)
$BOH=DOA$ (đối đỉnh)
$⇒ΔOBH=ΔODA(c-g-c)$
$⇒\widehat{OHB}=\widehat{ODA}=90^o$ (2 góc tương ứng)
$⇒AH⊥AD$
b) $ΔABC$ cân tại $A$
mà $AH$ là đường cao $BC$
$⇒AH$ là trung trực $BC$
$⇒BH=CH$
$CO∩AD≡E$
$⇒EA$ là tia đối $AD$
$⇒\widehat{EAO}=90^o$
Xét $ΔCOH$ và $ΔEOA$:
$AO=OH$ (O là trung điểm $AH$)
$\widehat{COH}=\widehat{EOA}$ (đối đỉnh)
$\widehat{EAO}=\widehat{CHO}=90^o$
$⇒ΔCOH=ΔEOA(g-c-g)$
$⇒EA=HC$ (2 cạnh tương ứng)
mà $BH=AD,BH=CH$
$⇒EA=DA$
$⇒A$ là trung điểm $ED$
c) Xét $ΔEDC$:
$A$ là trung điểm $ED$ ⇒ $CA$ là trung tuyến $ED$
$F$ là trung điểm $DC$ ⇒ $EF$ là trung tuyến $DC$
$O$ là trung điểm $EC$ (ΔCOH=ΔEOA) ⇒ $DO$ là trung tuyến $EC$
mà $AC∩DB≡I$
$⇒I$ là trọng tâm
$⇒E,I,F$ thẳng hàng
d) $AH$ là trung trực $BC$ mà $O∈AH$
$⇒OH$ là trung trực $BC$
$⇒OB=OC$
$⇒ΔOBC$ cân tại O
$⇒\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$
Xét $ΔIBC$ và $ΔKCB$:
$\widehat{B}=\widehat{C}$
$BC$:chung
$\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$
$⇒ΔIBC=ΔKCB(g-c-g)$
$⇒KB=IC$ mà $AB=AC$
$⇒AB-KB=AC-IC$ hay $AK=AI$
$⇒ΔAKI$ cân tại $A$
Ta có:
$\widehat{AKI}=\dfrac{180^o-A}{2}$
$\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-A}{2}$
$⇒\widehat{AKI}=\widehat{ABC}$
mà 2 góc ở vị trí đồng vị
$⇒KI//BC$
Ta có: $AH⊥ED$ mà $AH⊥BC$
$⇒ED//BC$ (từ ⊥ đến //)
mà $KI//BC$
$⇒KI//ED$
