Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 1$

Lại có:

${\left( {ax + b} \right)^2} = {a^2}{x^2} + 2abx + {b^2}$

Như vậy

Để $f\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^2},\forall x$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
2ab =  - 2m - 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
a = 1
\end{array} \right.\\
2ab =  - 2m - 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
2ab =  - 2m - 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
2ab =  - 2m - 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\left( {II} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

+) Giải hệ $(I)$

$\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
 - 2b =  - 2m - 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
{\left( {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right)^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
4{m^2} + 4m + 1 = 4{m^2} + 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = \dfrac{5}{4}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$

+) Giải hệ $(II)$

$\begin{array}{l}
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ - 2m - 1}}{2}\\
{\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{2}} \right)^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ - 2m - 1}}{2}\\
4{m^2} + 4m + 1 = 4{m^2} + 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ - 2m - 1}}{2}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ - 5}}{4}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$

Như vậy:

Với $m = \dfrac{3}{4}$ luôn tồn tại hằng số $a,b$ sao cho $f\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^2},\forall x$

Vậy $m = \dfrac{3}{4}$ thỏa mãn