Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m \) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} \) trên đoạn \( \left[ {0; \,4} \right] \) bằng \( - 1. \) A.\(3\). B.\(2\). C.\(1\). D.\(0\).
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:ĐK : \(x \ne m\) Ta có \(y' = \dfrac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\) nhận thấy\({m^2} - m + 2 = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0;\,\forall m\) nên \(y' > 0;\,\forall m\) Hay hàm số đồng bến trên từng khoảng xác định. Để hàm số đạt GTLN trên \(\left[ {0;4} \right]\) thì \(m \in \left[ {0;4} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 4\end{array} \right.\) Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \dfrac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}}\,\) . Theo bài ra ta có \(\dfrac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}} = - 1 \Rightarrow - {m^2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn. Chọn C.