Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có: \(y = x + m\sqrt {{x^2} + 2} \)\( \Rightarrow y' = 1 + \dfrac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}.\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\(\begin{align} \Leftrightarrow 1+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\ge 0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}+mx\ge 0\,\forall x\in \mathbb{R} \ \Leftrightarrow mx\ge -\sqrt{{{x}^{2}}+2}\,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,\left( * \right) \ \end{align}\)
+) Với \(x=0\Rightarrow y'\ge 0\,\,\,\forall m\Rightarrow tm\).
+) Với \(x>0\) ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{x}=g\left( x \right)\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\).
+) Với \(x < 0\) ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow m\le -\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{x}=g\left( x \right)\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -\infty ;\,\,0 \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\)
Xét \(g\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{x}\,\,\left( x\ne 0 \right)\) ta có:
\(g'\left( x \right)=\dfrac{-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)}>0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)
Hàm số đồng biến trên trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\).
BBT:
Dựa vào BBT ta có: \( - 1 \le m \le 1\) thỏa mãn bài toán. Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\,0;\,1} \right\}.\)
Chọn D.
