Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \sqrt {2{x^2} + 3}  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \left( {2{x^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \left( {2{x^2} + 3} \right) = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)TH1: \(\begin{array}{l}\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + mx + {m^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + mx + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4}{m^2} + \dfrac{3}{4}{m^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}m} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{2}m = 0\\\dfrac{3}{4}{m^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = m = 0\end{array}\)Thay \(x = m = 0\) ta có: \(\ln 1 = 0\) (luôn đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.TH2: \(\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) \ne 0\)Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} + 2}}{{\ln \left( {2{x^2} + 3} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + mx + {m^2}}}{{\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right)}}\).Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{t}{{\ln \left( {t + 1} \right)}}\,\,\left( {t \ge 2} \right)\), dễ dàng chứng minh được \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).Do đó \(2{x^2} + 2 = {x^2} + mx + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - mx - {m^2} + 2 = 0\).Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} + 4{m^2} - 8 \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt {\dfrac{8}{5}} \\m \le  - \sqrt {\dfrac{8}{5}} \end{array} \right.\).Kết hợp điều kiện đề bài: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 5;15} \right)\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;2;3;4;5;...;14} \right\}\).Kết hợp 2 TH ta có \(m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;0;2;3;4;5;...;14} \right\}\).Vậy có 17 giá trị của \(m\) thỏa mãn.Chọn D