Có bao nhiêu \(m\) nguyên dương để bất phương trình \({3^{2x + 2}} - {3^x}\left( {{3^{m + 2}} + 1} \right) + {3^m} < 0\) có không quá 30 nghiệm nguyên? A.\(28.\) B.\(29.\) C.\(30.\) D.\(31.\)
Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ \(t = {3^x} > 0\), đưa bất phương trình về dạng bất phương trình bậc hai ẩn \(t\). - Giải bất phương trình bậc hai tìm nghiệm \(t\), từ đó suy ra nghiệm \(x\). - Tìm điều kiện của \(m\) để bất phương trình có không quá 30 nghiệm nguyên. Giải chi tiết:Đặt \({3^x} = t > 0\), khi đó ta có bất phương trình \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,9{t^2} - \left( {{3^{m + 2}} + 1} \right)t + {3^m} < 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - t - {3^{m + 2}}.t + {3^m} < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {9t - 1} \right) - {3^m}\left( {9t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {9t - 1} \right)\left( {t - {3^m}} \right) < 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Vì \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) (gt) nên \({3^m} > {3^1} > \dfrac{1}{9}\), do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{9} < t < {3^m}\). \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{9} < {3^x} < {3^m} \Leftrightarrow - 2 < x < m\). Vì \(x \in \mathbb{Z}\) và bất phương trình có không quá 30 nghiệm nên \(m \le 29\). Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;...;29} \right\}\). Vậy có 29 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.