Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Sử dụng khai triển Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).
- Đưa các lũy thừa trong khai triển về dạng có cơ số là số nguyên, tìm điều kiện của \(k\) để số mũ của các lũy thừa là số nguyên.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}} \right)^{30}} = \sum\limits_{k = 0}^{30} {C_{30}^k{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{30 - k}}{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^k}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{30} {C_{30}^k{2^{15 - \frac{k}{2}}}{3^{\frac{k}{3}}}} \end{array}\)
Để số hạng cần tìm là số nguyên thì \(\left\{ \begin{array}{l}k\,\, \vdots \,\,2\\k\,\, \vdots \,\,3\end{array} \right. \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,6\). Lại có \(0 \le k \le 30\) nên \(k \in \left\{ {0;6;12;18;24;30} \right\}\).
Vậy khai triển trên có 6 số hạng là số nguyên.
Chọn A.
