Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:ĐK: \(mx + 1 > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{e^x} - 1 = m\ln \left( {mx + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {e^x} + mx = mx + 1 + m\ln \left( {mx + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {e^x} + mx = {e^{\ln \left( {mx + 1} \right)}} + m\ln \left( {mx + 1} \right)\end{array}\)
Xét hàm đặc trung \(f\left( t \right) = {e^t} + mt\) ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} + m > 0\,\,\forall m > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(f\left( x \right) = f\left( {\ln \left( {mx + 1} \right)} \right) \Leftrightarrow x = \ln \left( {mx + 1} \right) \Leftrightarrow {e^x} = mx + 1\).
Nhận thấy phương trình \({e^x} = mx + 1\) có nghiệm \(x = 0\) nên để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình \({e^x} = mx + 1\) phải có 1 nghiệm \(x \ne 0\), \(x \in \left[ { - 10;10} \right]\).
Ta có: \({e^x} = mx + 1 \Leftrightarrow {e^x} - 1 = mx \Leftrightarrow \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = m\,\,\left( {x \ne 0} \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{e^x} - 1}}{x}\) ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{x{e^x} - {e^x} + 1}}{{{x^2}}}\), \(x \in \left[ { - 10;10} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Tiếp tục xét hàm số \(h\left( x \right) = x{e^x} - {e^x} + 1\) ta có \(h'\left( x \right) = {e^x} + x{e^x} - {e^x} = x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có BBT hàm số \(h\left( x \right)\):

Dựa vào BBT ta thấy \(h\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), \(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Do đó \(g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ { - 10;10} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Khi đó ta có BBT hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Từ BBT \( \Rightarrow \) phương trình \({e^x} = mx + 1\) phải có 1 nghiệm \(x \ne 0\), \(x \in \left[ { - 10;10} \right]\) khi và chỉ khi \(m \in \left[ {\dfrac{{1 - {e^{ - 10}}}}{{10}};\dfrac{{{e^{10}}}}{{10}}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;...;2202} \right\}\).
Vậy có 2201 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A