Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^4} + \left( {6 - m} \right){x^2} + m\) có đúng một cực trị? A.\(5\) B.\(1\) C.\(6\) D.\(0\)
Phương pháp giải: Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có duy nhất một nghiệm bội lẻ. Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) \(y = \left( {m - 1} \right){x^4} + \left( {6 - m} \right){x^2} + m\) + Với \(m = 1\) thì hàm số trở thành \(y = 5{x^2} + 1\) có duy nhất 1 điểm cực trị là \(x = 0\,\,\left( {tm} \right)\). + Với \(m e 1\) ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{y' = 4\left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {6 - m} \right)x = 2x\left[ {2\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 6} \right]}\\{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = \frac{{m - 6}}{{2\left( {m - 1} \right)}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\) Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ. Do đó phương trình (1) hoặc là có nghiệm kép \(x = 0\) hoặc vô nghiệm. \( \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{m - 6}}{{2\left( {m - 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow 1 < m \le 6\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\). Vậy có tất cả 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán. Chọn A.