Đáp án: có vô số giá trị nguyên của m thỏa mãn
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $x^3+mx+2>0$
Ta có:
$y'=\dfrac{3x^2+m}{x^3+mx+2}$
Để hàm số đồng biến trên $x\in[1,+\infty)$
$\to y'>0, x\in[1,+\infty)$
$\to \dfrac{3x^2+m}{x^3+mx+2}>0$
$\to 3x^2+m>0$
$\to -m<3x^2$
Mà $3x^2\ge 3\cdot 1^2=3,\quad\forall x\in[1,+\infty)$
$\to -m<3$
$\to m>-3$
Lại có:
$x^3+mx+2>0,\quad\forall x\in[1,+\infty)$
$\to x^3+2>-mx$
$\to -m<\dfrac{x^3+2}{x}, \quad x\in[1,+\infty)$
Ta có:
$f(x)=\dfrac{x^3+2}{x}$
$\to f'(x)=\dfrac{2x^3-2}{x^2}\ge 0\quad\forall x\in[1,+\infty)$
$\to f(x)$ đồng biến trên $x\in[1,+\infty)$
$\to f'(x)\ge f(1)=3$
$\to -m<3$
$\to m>-3$
