Đáp án:$P=1$
Giải:
-Vì theo bài  cho:$\left \{\matrix {{x>2014} \hfill\cr {y>2014}} \right.$                      
     Và$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2014}$ 
Nên:
 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2014}   ⇒\dfrac{1}{x}= \dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{y-2014}{2014y} ⇒y-2014=\dfrac{2014y}{x} ⇒\sqrt[]{y-2014}=\sqrt[]{\dfrac{2014y}{x}}  (1) \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2014} ⇒\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2014}- \dfrac{1}{x}=\dfrac{x-2014}{2014x} ⇒x-2014= \dfrac{2014x}{y} ⇒\sqrt[]{x-2014}= \sqrt[]{\dfrac{2014x}{y}}  (2)$
-Từ $(1)$ và $(2)$,Ta có:
  $\sqrt[]{x-2014}+\sqrt[]{y-2014} =\sqrt[]{\dfrac{2014x}{y}}+\sqrt[]{\dfrac{2014y}{x}}=\sqrt[]{2014}.(\sqrt[]{\dfrac{x}{y}}+\sqrt[]{\dfrac{y}{x}}) =\sqrt[]{2014}. \dfrac{x+y}{\sqrt[]{xy}}= \sqrt[]{2014}.\sqrt[]{x+y}. \sqrt[]{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} = \sqrt[]{x+y}. \sqrt[]{2014}.\dfrac{1}{\sqrt[]{2014}}=\sqrt[]{x+1}$
-Tính giá trị của $P$
$P= \dfrac{\sqrt[]{x+y}}{\sqrt{x-2014}+\sqrt{y-2014}}=\dfrac{\sqrt[]{x+y}}{\sqrt[]{x+y}}=1$

    Vậy $P=1$

Theo bài ra ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2014}$

Có: $P=\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-2014}+\sqrt{y-2014}}=\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-\frac{xy}{x+y}}+\sqrt{y-\frac{xy}{x+y}}}=\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{\frac{x^2}{x+y}}+\sqrt{\frac{y^2}{x+y}}}$

=> $P^2=\frac{x+y}{\frac{x^2+y^2}{x+y}+2\sqrt{\frac{x^2y^2}{(x+y)^2}}}=\frac{x+y}{\frac{(x+y)^2}{x+y}}=\frac{x+y}{x+y}=1$

Do P>0 nên P=1.

Bạn thử kiểm tra xem.