a) Xét dãy số 2 ; 22 ; 222 ; ... ; 222222222222222222222222 ( 24 chữ số 2 ) có 24 số hạng
Có 23 số dư trong phép chia một số cho 23 là 0; 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 22
Có 24 số hạng mà có 23 số dư nên theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 23
⇒ hiệu 2 số đó chia hết cho 23
Giả sử 2 số đó là 22...2 ( a chữ số 2 ) và 22...2 ( b chữ số 2 ) ( a ; b∈N*| a > b )
⇒22...2-22...2=22...200...0=22...2*100...0=22...2*10^b chi hết cho 23 (ghi số lượng chữ số 2 nhé)
mà ƯCLN( 10^b ; 23 ) = 1
⇒22...2 (a-b chữ số 2) chia hết cho 23
⇒Có tồn tại
b) 20192019...2019 là số lẻ không chia hết cho 2020 là số chẵn
⇒Không tồn tại