Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình: ${x^2} + 2x - m = 0\left( 1 \right)$
a) Để phương trình có 2 nghiệm khác nhau
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow {1^2} - 1.\left( { - m} \right) > 0\\
\Leftrightarrow m + 1 > 0\\
\Leftrightarrow m > - 1
\end{array}$
Do $m\in Z$ nên giá trị nguyên nhỏ nhất để phương trình $(1)$ có hai nghiệm khác nhau là: $0$
Vậy $m=0$ thỏa mãn.
b) Để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
\Leftrightarrow m \ge - 1
\end{array}$
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 2\\
{x_1}{x_2} = - m
\end{array} \right.$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
x_1^4 + x_2^4\\
= {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\\
= {\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\
= {\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 2.\left( { - m} \right)} \right)^2} - 2.{\left( { - m} \right)^2}\\
= {\left( {2m + 4} \right)^2} - 2{m^2}\\
= 2{m^2} + 16m + 16\\
= 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 12m + 16\\
= 2{\left( {m + 1} \right)^2} + 12m + 16\\
\ge 2.0 + 12.\left( { - 1} \right) + 16\\
= 4
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow m = - 1$
Vậy $m = - 1$ thì ${x_1^4 + x_2^4}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
