Giải thích các bước giải:

a.Ta có $EP,EA$ là tiếp tuyến của $(O)\to EP=EA$

   Tương tự $FP=FB$

$\to P_{MEF}=ME+EF+FM=ME+EP+PF+FM=(ME+EP)+(PF+FM)=(ME+MA)+(MF+FB)=MA+MB$ không đổi

b.Ta có $MA$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{MAB}=\dfrac12\widehat{AOB}$

Vì $EP,EA$ là tiếp tuyến của $(O)\to OE$ là phân giác $\widehat{AOP}$

Tương tự $OF$ là phân giác $\widehat{POB}$

$\to \widehat{EOF}=\widehat{EOP}+\widehat{POF}=\dfrac12\widehat{AOP}+\dfrac12\widehat{POB}=\dfrac12\widehat{AOB}=\widehat{MAB}$

c.Ta có $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$

$\to MO$ là phân giác $\widehat{CMD}$

Lại có $MO\perp CD$ tại $O$

$\to \Delta MCD$ cân tại $M, O$ là trung điểm $CD\to OC=OD$

Ta có:

$EA,EP$ là tiếp tuyến của $(O)\to EO$ là phân giác $\widehat{AEP}$

$\to\widehat{AEO}=\widehat{OEP}$

$\to\widehat{CEO}=\widehat{OEF}$

Mà $\widehat{ECO}=\widehat{ACO}=90^o-\widehat{AOC}=\widehat{MOA}=\dfrac12\widehat{AOB}=\widehat{EOF}$

$\to \Delta ECO\sim\Delta EOF(g.g)$

Tương tự $\Delta EOF\sim\Delta ODF(g.g)$

$\to \Delta ECO\sim\Delta ODF$

$\to\dfrac{EC}{OD}=\dfrac{CO}{DF}$

$\to CE.DF=OC.OD=OC^2$

d.Ta có:

$EF^2=OE^2+OF^2-2\cdot OE\cdot OF\cdot\cos\widehat{EOF}$

$\to EF^2=(EP^2+OP^2)+(FP^2+OP^2)-4\cdot\dfrac12\sin\widehat{EOF}\cdot OE\cdot OF\cdot\dfrac{\cos\widehat{EOF}}{\sin\widehat{EOF}}$

$\to EF^2=(EP^2+FP^2)+2OP^2-4\cdot S_{OEF}\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to EF^2=(EP^2+FP^2)+2OP^2-4\cdot \dfrac12OP\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to EF^2=(EP^2+FP^2)+2R^2-2R\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to EF^2\ge \dfrac12(EP+FP)^2+2R^2-2R\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to EF^2\ge \dfrac12EF^2+2R^2-2R\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to \dfrac12EF^2\ge 2R^2-2R\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to \dfrac12EF^2+2R\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}\ge 2R^2$

$\to EF^2+4R\cdot EF\cdot\tan\widehat{EOF}\ge 4R^2$

$\to EF^2+2 EF\cdot (2R\cdot\tan\widehat{EOF})+(2R\cdot\tan\widehat{EOF})^2\ge 4R^2+(2R\cdot\tan\widehat{EOF})^2$

$\to (EF+2R\cdot\tan\widehat{EOF})^2\ge 4R^2+4R^2\cdot\tan^2\widehat{EOF}$

$\to (EF+2R\cdot\tan\widehat{EOF})^2\ge 4R^2(1+\tan^2\widehat{EOF})$

$\to EF+2R\cdot\tan\widehat{EOF}\ge 2R\sqrt{1+\tan^2\widehat{EOF}}$

$\to EF\ge 2R\sqrt{1+\tan^2\widehat{EOF}}-2R\cdot\tan\widehat{EOF}$

$\to EF\ge 2R(\sqrt{1+\tan^2\widehat{EOF}}-\tan\widehat{EOF})$

Vì $\widehat{EOF}=\dfrac12\widehat{AOB}$

$\to EF\ge 2R(\sqrt{1+\tan^2\widehat{EOF}}-\tan\widehat{EOF})$ không đổi

Dấu = xảy ra khi $PE=PF\to P$ nằm chính giữa cung $AB$