Đáp án:
$a) m \le 0 \\ b) -2 \le m \le 2\\ c) \forall m$
Giải thích các bước giải:
$a)y=mx-x^3\\ y'=m-3x^2$
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow y' \le 0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m-3x^2 \le 0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le 3x^2 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le 0 \\ b)y=\dfrac{1}{3}x^3+mx^2+4x-3\\ y'=x^2+2mx+4$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow y' \ge 0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow x^2+2mx+4 \ge 0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a>0\\ \Delta' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 1>0\\ m^2-4\le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m^2-4\le 0\\ \Leftrightarrow m^2\le 4\\ \Leftrightarrow -2 \le m \le 2\\ c)y=\dfrac{x-m^2+2}{x+3} D=\mathbb{R} \setminus \{3\}\\ y'=\dfrac{(x-m^2+2)'(x+3)-(x-m^2+2)(x+3)'}{(x+3)^2}\\ =\dfrac{x+3-(x-m^2+2)}{(x+3)^2}\\ =\dfrac{m^2+1}{(x+3)^2} \ge 0 \ \forall x \in D$
Vậy hàm số đồng biến với mọi $m.$
