a) AB = AC
Xét ΔABD và ΔACE có:
∠A là góc chung
AB = AC (ΔABC cân tại A)
⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh huyền- góc nhọn)
⇒ AE = AD (2 cạnh tương ứng)
⇒ ΔADE cân tại A
b) Ta có: ∠AED = ∠ADE (ΔADE cân tại A)
Lại có: ∠A + ∠AED + ∠ADE = 180 độ ( định lí)
⇒ ∠AED = ∠ADE = $\frac{180 - ∠A }{2}$ (1)
Ta có: ∠ABC = ∠ACB (ΔABC cân tại A)
Lại có: ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180 độ ( định lí)
⇒ ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180 - ∠A }{2}$ (2)
Từ 1 và 2 ⇒ ∠AED = ADE = ∠ABC = ACB = $\frac{180 - ∠A }{2}$
mà ∠AED và ∠ABC là hai góc đồng vị
⇒ DE//BC (dấu hiệu)
c) Ta có: ∠ABC = ∠ABI + ∠IBC
∠ACB = ∠ACI + ∠ICB
mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)
∠ABI = ACI (ΔABD = ΔACE)
⇒ ∠IBC = ∠ICB
⇒ ΔIBC cân tại I
⇒ IB = IC
d) Xét ΔABI và ΔACI có:
AI là cạnh chung
∠ABI = ACI (ΔABD = ΔACE)
AB = AC(cmt)
⇒ ΔABI = ΔACI (c - g- c)
⇒ ∠BAI = ∠CAI (2 góc tương ứng)
Gọi giao điểm của AI và BC là O
Xét ΔABO và ΔACO có:
AI là cạnh chung
∠BAI = ∠CAI (cmt)
AB = AC(cmt)
⇒ ΔABO = ΔACO (c - g- c)
⇒ ∠AOB = ∠AOC (2 góc tương ứng)
mà ∠AOB + ∠AOC = 180 (kề bù)
⇒ ∠AOB = ∠AOC = 90
⇒ AI ⊥ BC
