Đáp án:
a) Giải thích các bước giải:
Ta có $S=\frac{1}{2}ab.sinA$ và $ 0 \leq sin A \leq 1$ . Giả sử bất đẳng thức:
$a^2+b^2-4S \geq 0$ là đúng
⇔ $a^2+b^2-4.\frac{1}{2}absinA \geq 0$
⇔$a^2+b^2-2absinA \geq 0 $ (đúng với mọi $a,b >0$ ) vì $ 0 \leq sin A \leq 1$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left \{ {{a=b} \atop {\widehat A=90}} \right.$ ⇔ tam giác ABC vuông cân tại A.
b) Ta có $h_b=\frac{2S}{b}$ tương tự $h_a=\frac{2S}{a}$, $h_c=\frac{2S}{c}$ .
Lại có $a.h_b+b.h_c+c.h_a=S(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a})=2S(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geq 2S.3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=6S$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$