Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left ( d \right ) : y = 2x - a^{2}$ và $\left ( P \right ) : y = ax^{2}$ ta có:
$ax^{2} = 2x - a^{2}$
$\Leftrightarrow ax^{2} - 2x + a^{2} = 0$
Ta có: $\Delta' = 1^{2} - a.a^{2} = 1 - a^{3}$ $\left ( 1 \right )$
$\left ( d \right )$ cắt $\left ( P \right )$ tại $2$ điểm phân biệt
$\Leftrightarrow$ Phương trình $\left ( 1 \right )$ có $2$ nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta' > 0$
$\Leftrightarrow 1 - a^{3} > 0$
$\Leftrightarrow a < 1$
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2}{a}\\ x_{1}x_{2} = a\end{matrix}\right.$
Do đó $\left ( d \right )$ cắt $\left ( P \right )$ tại $2$ điểm phân biệt $A$, $B$ đều nằm về phía bên phải trục tung khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} > 0\\ x_{1}x_{2} > 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{a} > 0\\ a > 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow a > 0$
Kết hợp với điều kiện ta có $0 < a < 1$
