Đáp án:
$m\in\left\{-\dfrac{11}{2};\dfrac92\right\}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(d)$ và $(P):$
$\quad x^2 = (2m+1)x - m^2 - m + 6$
$\Leftrightarrow x^2 - (2m+1)x + m^2 + m - 6= 0\qquad (*)$
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}> 0$
$\Leftrightarrow (2m+1)^2 - 4(m^2 + m - 6)> 0$
$\Leftrightarrow 25 > 0$ (luôn đúng)
Do đó hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Với $x_1,\ x_2$ là hai hoành độ giao điểm
$\Rightarrow x_1,\ x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $(*)$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m+1\\x_1x_2 = m^2 + m - 6\end{cases}$
Ta có:
$\quad |x_1^2 - x_2^2|= 50$
$\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(x_1+x_2)^2 = 2500$
$\Leftrightarrow [(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2](x_1+x_2)^2 = 2500$
$\Leftrightarrow [(2m+1)^2 - 4(m^2 + m - 6)](2m+1)^2 = 2500$
$\Leftrightarrow (2m+1)^2 = 100$
$\Leftrightarrow |2m+1| = 10$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac92\\m = - \dfrac{11}{2}\end{array}\right.$
Vậy $m\in\left\{-\dfrac{11}{2};\dfrac92\right\}$