a)Kẻ $HD//AB$, $HE//AC$ ta được $ADHE$ là hình bình hành nên $AD=HE$ $AE=DH$
Theo bất đẳng thức tam giác ta được:
$HA<AE+HE=AE+AD$
Vì $CH\bot AB$ mà $HD//AB$ nên $CH\bot HD$ hay tam giác DHC vuông tại H nên ta có $HC<DC$
(cạnh góc vuông bé hơn cạnh huyền)
Tương tự ta có tam giác $EHB$ vuông tại $H$ nên $HB<BE$
Từ đó ta có $HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC$
b) Chứng minh một cách tương tự ta có $HA+HB+HC<AC+BC$ và $HA+HB+HC<AB+BC$
Cộng 3 vế lại ta được
$3(HA+HB+HC)<2(AB+BC+CA)\Rightarrow HA+HB+HC<\dfrac 2 3(AB+AC+BC)$