Đáp án: `F=1/14`
Giải thích các bước giải:
`x + 1/x = 4`
`<=> x^2/x + 1/x = 4`
`<=>( x^2+1)/x = 4`
`<=>( x^2+1) = 4x`
`<=> x^2-4x+1 = 0` `(1)`
Ta thấy: `4x = [(2-sqrt3)x+(2+sqrt3)x]` `(2)`
`1 = (2+sqrt3)(2-sqrt3)` `(3)`
`Từ (1) (2) (3)`
`=> x^2-[(2-sqrt3)x+(2+sqrt3)x]+(2+sqrt3)(2-sqrt3) = 0`
`<=> x^2-(2-sqrt3)x-(2+sqrt3)x+(2+sqrt3)(2-sqrt3) = 0`
`<=> x.[x-(2-sqrt3)]+(2+sqrt3).[(2-sqrt3)-x] = 0`
`<=> x.[x-(2-sqrt3)]-(2+sqrt3).[x-(2-sqrt3)] = 0`
`<=> [x- 2+sqrt3)].[x-(2-sqrt3)] = 0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=2+\sqrt3\\x=2-\sqrt3\end{array} \right.\)
Vậy thay `x=2+sqrt3` và `x=2-sqrt3` lần lượt vào F ta có
+) Khi `x=2+sqrt3` thì `F =(x^2)/(x^4+1)=((2+sqrt3)^2)/((2+sqrt3)^4+1) `
Ta thấy`(2+sqrt3)^4 =(2+sqrt3)(2+sqrt3)(2+sqrt3)(2+sqrt3)`
`=97+56sqrt3`
Khi đó `(2+sqrt3)^4 +1 =97+56sqrt3+1=98+56sqrt3`
Vậy `F = ((2+sqrt3)^2)/((2+sqrt3)^4+1) =((2+sqrt3)(2+sqrt3))/(98+56sqrt3)`
`<=> F=((4+4sqrt3+3))/(98+56sqrt3)=((7+4sqrt3))/(98+56sqrt3)=((7+4sqrt3))/(14(7+4sqrt3))=1/14`
.
+) Khi `x=2-sqrt3` thì `F =(x^2)/(x^4+1)=((2-sqrt3)^2)/((2-sqrt3)^4+1) `
Tương tự ta thấy:`(2-sqrt3)^4 =(2-sqrt3)(2-sqrt3)(2-sqrt3)(2-sqrt3)`
`=97-56sqrt3`
Khi đó `(2-sqrt3)^4 +1 =97-56sqrt3+1=98-56sqrt3`
Vậy `F = ((2-sqrt3)^2)/((2-sqrt3)^4+1) =((2-sqrt3)(2-sqrt3))/(98-56sqrt3)`
`<=> F=((7-4sqrt3))/(98-56sqrt3)=((7-4sqrt3))/(14(7-4sqrt3))=1/14`
.
Vậy chung quy lại,ta thấy cả hai trường hợp `F = 1/14`
