Đáp án:
` (x;y)=(4;\sqrt{2016})`
Giải thích các bước giải:
`\qquad \sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=y^2-2\sqrt{2016}+2018` `(**)`
$ĐK: \begin{cases}x-3\ge 0\\5-x\ge 0\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}x\ge 3\\x\le 5\end{cases}$
`=>3\le x\le 5`
Ta có:
`\qquad (\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})^2`
`=x-3+2\sqrt{(x-3)(5-x)}+5-x`
`=2+2\sqrt{(x-3)(5-x)}` $(1)$
Áp dụng BĐT Cosi với hai số không âm `x-3;5-x` ta có:
`\qquad x-3+5-x\ge 2\sqrt{(x-3)(5-x)}`
`<=>2\sqrt{(x-3)(5-x)}\le 2` $(2)$
Từ `(1);(2)`
`=>(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})^2\le 2+2=4 `
`=>\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le 2` $(3)$
$\\$
Ta lại có:
`\qquad y^2-2\sqrt{2016}y+2018`
`=y^2-2.y\sqrt{2016}+2016+2`
`=(y-\sqrt{2016})^2+2\ge 2` với mọi `y` $(4)$
Từ `(**);(3);(4)`
`=>`$\begin{cases}\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=2\\(y-\sqrt{2016})^2+2=2\end{cases}$
`=>(3);(4)` dấu "=" xảy ra
`=>`$\begin{cases}x-3=5-x\\y-\sqrt{2016}=0\end{cases}$
`=>`$\begin{cases}x=4\ (thỏa\ mãn)\\y=\sqrt{2016}\end{cases}$
Vậy cặp số `(x;y)=(4;\sqrt{2016})` thỏa mãn đề bài
