Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta AND,\Delta ANH$ có:
Chung $AN$
$\widehat{AND}=\widehat{ANH}(=90^o)$
$ND=NH$
$\to\Delta AND=\Delta ANH(c.g.c)$
$\to AD=AH,\widehat{DAN}=\widehat{NAH}\to \widehat{DAH}=2\widehat{NAH}$
Tương tự chứng minh được $AE=AH, \widehat{HAE}=2\widehat{HAM}$
$\to AD=AE, \widehat{DAE}=\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=2\widehat{NAH}+2\widehat{HAM}=2\widehat{NAM}=2\cdot 90^o=180^o$
$\to D, A,E$ thẳng hàng
$\to A$ là trung điểm $DE$
b.Xét $\Delta ADB, \Delta ABH$ có:
Chung $AB$
$\widehat{DAB}=\widehat{DAN}=\widehat{NAH}=\widehat{BAH}$
$AD=AH$
$\to \Delta ADB=\Delta AHB(c.g.c)$
$\to \widehat{BDA}=\widehat{BHA}=90^o\to BD\perp AD\to BD\perp DE$
Tương tự $CE\perp DE$
$\to BD//CE$
c.Ta có $HM\perp AC, AB\perp AC, HN\perp AB\to HM//AB, HN//AC\to HM\perp HN$
$\to HD\perp HE$
$\to \Delta DEH$ vuông tại $H$
d.Xét $\Delta AHN, \Delta AHM$ có:
$\widehat{ANH}=\widehat{AMH}(=90^o)$
Chung $AH$
$\widehat{AHN}=\widehat{HAM}$ vì $HN//AC$
$\to \Delta AHN=\Delta HAM$(cạnh huyền-góc nhọn)
$\to AN=HM, AM=HN$
$\to AN^2+AM^2=AN^2+HN^2$
$\to MN^2=AH^2$
$\to MN=AH$
e.Trên tia đối của tia $KM$ lấy điểm $F$ sao cho $K$ là trung điểm $FM$
Xét $\Delta KMH, \Delta KFC$ có:
$KH=KC$
$\widehat{MKH}=\widehat{CKF}$
$KM=KF$
$\to \Delta KMH=\Delta KFC(c.g.c)$
$\to HM=CF, \widehat{KMH}=\widehat{KFC}\to HM//CF$
Mà $HM\perp CA\to CF\perp AC$
$\to MF^2=MC^2+CF^2=MC^2+HM^2=HC^2$
$\to MF=HC$
$\to 2KM=2KH\to KM=KH$
$\to \Delta KMH$ cân tại $K$
Tương tự $\to \Delta INB$ cân tại $I$
$\to \widehat{MKH}=180^o-2\widehat{MHK}=180^o-2\widehat{NBI}$ vì $HM//AB$
$\to \widehat{MKH}=\widehat{NIB}$
$\to NI//MK$
