Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vẽ $MX ⊥BC; MY⊥CA; MZ ⊥AB$
Đặt $ BC = a; CA = b; AB = x; MX = x; MY = y; MZ = z$
$ ⇒ 2S_{MBC} = ax; 2S_{MCA} = by; 2S_{MAB} = cz$
$ ⇒ ax + by + cz = 2S_{ABC}$
Áp dụng Cô si:
$ abc.xyz = (ax).(by).(cz) ≤ (\dfrac{ax + by + cz}{3})³$
$ = \dfrac{8S³_{ABC}}{27} ⇒ Max(xyz) = \dfrac{8S³_{ABC}}{27abc}$
Xảy ra khi $ ax = by = cz = \dfrac{2S_{ABC}}{3} $
$ ⇒ ax = \dfrac{ah_{a}}{3} ⇔ x = \dfrac{h_{a}}{3} $
Tương tự :
$ ⇒ by = \dfrac{bh_{b}}{3} ⇔ y = \dfrac{h_{b}}{3} $
$ ⇒ cz = \dfrac{ch_{c}}{3} ⇔ z = \dfrac{h_{c}}{3} $
$ ⇒ M$ là trọng tâm $ΔABC$
