Đồ thị của hàm số nào sau đây nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng. A.\(y = x\sin x\) B.\(y = \cos x\) C.\(y = \dfrac{{\sin x}}{x}\) D.\(y = x\cos x\)
Đáp án đúng: D Phương pháp giải: Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng.Giải chi tiết:Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng. Xét đáp án A. Hàm số \(y = x\sin x\)có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\). Đặt \(y = f\left( x \right) = x\sin x\) ta có: \(f\left( { - x} \right) = - x.\sin \left( { - x} \right) = x\sin x = f\left( x \right)\). \( \Rightarrow y = x\sin x\) là hàm chẵn \( \Rightarrow \) Loại. Xét đáp án B: Hàm số \(y = \cos x\) là hàm chẵn \( \Rightarrow \) Loại. Xét đáp án C: Hàm số \(y = \dfrac{{\sin x}}{x}\)có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) \( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\). Đặt \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x}}{x}\) ta có \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - x} \right)}}{{ - x}} = \dfrac{{ - \sin x}}{{ - x}} = \dfrac{{\sin x}}{x} = f\left( x \right)\). \( \Rightarrow y = \dfrac{{\sin x}}{x}\) là hàm chẵn \( \Rightarrow \) Loại. Xét đáp án D: Hàm số \(y = x\cos x\)có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\). Đặt \(y = f\left( x \right) = x\cos x\) ta có \(f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right).\cos \left( { - x} \right) = - x\cos x = - f\left( x \right)\). \( \Rightarrow y = x\cos x\) là hàm lẻ (thỏa mãn). Chọn D.