Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:
$2x+m^2-1=x^2$
$\Leftrightarrow x^2-2x-m^2+1=0$ (1)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B $\Leftrightarrow $ (1) có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta'=1^2-(-m^2+1)=m^2>0\Leftrightarrow m\ne0$
H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành
$\Rightarrow $ hoành độ của H, K lần lượt bằng hoành độ của A và B
Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của (1) $\Rightarrow $ hoành độ của H, K bằng $x_1,x_2$
$\Rightarrow H(x_1;0)$, $K(x_2;0)$
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=-m^2+1\end{cases}$
Để độ dài đoạn thẳng HK bằng 2 (đơn vị độ dài)
$\Leftrightarrow|x_1-x_2|=2$
$\Leftrightarrow(x_1-x_2)^2=4$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$
$\Leftrightarrow 4-4.(-m^2+1)=4$
$\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm1$ (nhận)
Vậy $m=\pm1$ thỏa mãn đề bài.
