$\begin{gathered} 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {y^2} = 46656(1) \hfill \\ 46656 \vdots 3 \Rightarrow {y^2} \vdots 3 \Rightarrow y \vdots 3 \hfill \\ + 46656 \vdots 9 \Rightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \vdots 9 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \vdots 3 \Rightarrow {x^2} \vdots 3 \Rightarrow x \vdots 3 \hfill \\ \to x = 3u,3v\left( {u,v \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 7{u^2} + 4{v^2} = 5184\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} $
Từ (2) lập luận tương tự trên suy ra: $u=3s, v=3t (s,t \in \mathbb{Z})$
Thay vào (2) được $7s^2+4t^2=576$(3)
Từ (3) lập luận tương tự suy ra $7d^2+4e^2=64$ ($d,e \in \mathbb{Z}$)(4)
Dựa vào (4) ta có $7d^2\vdots 4\Rightarrow d\vdots 2$
Từ đó ta có $7f^2+e^2=16$ ($d=2f \in \mathbb{Z}$)
Do đó ta có $f^2=0$ hoặc $f^2=1$
Xét $f^2=0 \Rightarrow f=0 \rightarrow e=\pm 4$
Xét $f^2=1\Rightarrow f=\pm 1 \rightarrow e=\pm 3$
Thế $f,e$ vào $x,y$ ta được nghiệm nguyên thỏa mãn.
