Đáp án+Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : `x ≥ 0`
Vì `x ≥ 0` nên `4\sqrt{x} ≥ 0` (*)
Ta có : `x + \sqrt{x} + 1`
`= (x + \sqrt{x} + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4} `
`= (\sqrt{x} + \frac{1}{2})² + \frac{3}{4}`
Vì `(\sqrt{x} + \frac{1}{2})² ≥ 0` với `∀x ≥ 0`
nên `(\sqrt{x} + \frac{1}{2})² + \frac{3}{4} > 0` (**)
Từ (*) và (**) suy ra `P ≥ 0` (+)
Lại có : `P = \frac{4\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}`
`= \frac{4}{\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1}`
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
`\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} ≥ 2`
`⇒ \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 ≥ 3`
`⇒ \frac{4}{\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1} ≤ \frac{4}{3}`
hay `P ≤ \frac{4}{3}` (++)
Từ (+) và (++) suy ra : `0 ≤ P ≤ \frac{4}{3}`
Mà P nguyên
Nên P ∈ {0;1}
Nếu `P = 0` thì `x = 0`
Nếu `P = 1` thì `x = ± \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}`
