Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a) \widehat{ABC}+\widehat{CBH}+\widehat{HBD}+\widehat{DBA}=360^\circ\\ \Rightarrow \widehat{HBD}+\widehat{ABC}=360^\circ-(\widehat{CBH}+\widehat{DBA})$
$=360^\circ-(90^\circ+90^\circ)$ (Do $ ABDE, BCKH$ là hình vuông)
$=180^\circ$
$b) DBHN$ là hình bình hành
$\Rightarrow DB=HN, \widehat{NHB}+\widehat{DBH}=180^\circ$
Mà $\widehat{HBD}+\widehat{ABC}=180^\circ$
$\Rightarrow \widehat{NHB}=\widehat{ABC}$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta NHB:$
$AB=NH (=DB)\\ \widehat{ABC}=\widehat{NHB}$
$BC=BH (BCKH$ là hình vuông)
$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta NHB (c.g.c)\\ c) I=DH \cap NB$
$DBHN$ là hình bình hành
$\Rightarrow IN=IB=\dfrac{1}{2}NB$
Mà $NB=AC (\Delta ABC = \Delta NHB )$
$\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}AC$
Lại có $AM=MC=\dfrac{1}{2}AC$
$\Rightarrow IN=IB=AM=MC$
Xét $\Delta HNI$ và $\Delta BAM$
$HN=BA\\ \widehat{N_1}=\widehat{A_1} (\Delta NHB=\Delta ABC )\\ NI=AM\\ \Rightarrow \Delta HNI = \Delta BAM (c.g.c)\\ \Rightarrow HI=BM$
Mà $HI=\dfrac{1}{2} DH (DBHN$ là hình bình hành tâm $I)$
$\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2} DH\\ \Rightarrow 2BM=DH\\ d) BM \cap DH=F$
Xét $\Delta BMC$ và $\Delta HIB$
$BM=HI\\ MC=IB\\ BC=BH \\ \Rightarrow \Delta BMC = \Delta HIB (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{H_1}\\ \widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{HBF}=180^\circ\\ \Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{HBF}=180^\circ-\widehat{B_2}\\ \Leftrightarrow \widehat{B_1}+\widehat{HBF}=90^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{H_1}+\widehat{HBF}=90^\circ$
Xét $\Delta HBF \Rightarrow \widehat{HFB}=90^\circ \Rightarrow BM \perp DH.$
