$\begin{array}{l}
3{\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x + 4\sin x - \cos 2x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^3}x - 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 4\sin x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^3}x + 5{\sin ^2}x + 4\sin x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3\sin x - 1} \right)\left( {{{\sin }^2}x - 2\sin x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{3}\\
{\sin ^2}x - 2\sin x + 2 = 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{3}\\
{\cos ^2}x + 3\cos x\left( {\sin 2x - 8\sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x + 3\cos x\left( {2\sin x\cos x - 8\sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x + 6\sin x{\cos ^2}x - 24\cos x\sin x = 0
\end{array}$
Do (1) có nghiệm \(\sin x = \frac{1}{3}\) nên \(\cos ^2 x = \frac{8}{9}\)
Ta thay \(\sin x = \frac{1}{3}\) vào (2) được $\frac{8}{9} + 6.\frac{1}{3}.\frac{8}{9} - 24.\cos x.\frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{3}$
Điều này vô lí do \(\cos ^2 x = \frac{8}{9}\).
Vậy hai phương trình không có nghiệm chung.
