Giải thích các bước giải:
a.Gọi G là trọng tâm $\Delta ANP$
$\to\vec{GA}+\vec{GN}+\vec{GP}=0$
Ta có : $M,N,P,Q$ là trung điểm AB,BC,CD,DA $\to QP,MN$ là đường trung bình $\Delta DAC,BAC$
$\to\vec{NM}=\vec{PQ}=\dfrac12\vec{CA}$
Lại có :
$\vec{GC}+\vec{GM}+\vec{GQ}$
$=\vec{GA}+\vec{AC}+\vec{GN}+\vec{NM}+\vec{GP}+\vec{PQ}$
$=(\vec{GA}+\vec{GN}+\vec{GP})+\vec{AC}+\vec{NM}+\vec{PQ}$
$=\vec{AC}+\vec{NM}+\vec{PQ}$
$=\vec{AC}+\dfrac12\vec{CA}+\dfrac12\vec{CA}$
$=0$
$\to G$ là trọng tâm $\Delta CMQ$
b.Gọi $E$ là trọng tâm $\Delta ABCD$
$\to\vec{EA}+\vec{EB}+\vec{EC}+\vec{ED}=0$
Mà $M,N,P,Q$ là trung điểm AB,BC,CD,DA
$\to 2(\vec{EA}+\vec{EB}+\vec{EC}+\vec{ED})=0$
$\to(\vec{EA}+\vec{EB})+(\vec{EB}+\vec{EC})+(\vec{EC}+\vec{ED})+(\vec{ED}+\vec{EA})=0$
$\to 2\vec{EM}+2\vec{EN}+2\vec{EP}+2\vec{EQ}=0$
$\to \vec{EM}+\vec{EN}+\vec{EP}+\vec{EQ}=0$
$\to E$ là trọng tâm $\Delta MNPQ$
c.Ta có :
$|\vec{MA}+\vec{MP}+\vec{MC}+\vec{MD}|=k$
$\to|\vec{ME}+\vec{EA}+\vec{ME}+\vec{EP}+\vec{ME}+\vec{EC}+\vec{ME}+\vec{ED}|=k$
$\to |4\vec{ME}+(\vec{EA}+\vec{EB}+\vec{EC}+\vec{ED})|=k$
$\to |4\vec{ME}|=k$
$\to |\vec{ME}|=\dfrac k4$
$\to M\in (E,\dfrac k4)$
d.Ta có :
$\vec{AB}=(8,4),\vec{BC}=(2,-4),\vec{CD}=(-5,-5),\vec{DA}=(5,-5)$
$\to\vec{AB}.\vec{BC}=8.2+4(-4)=0\to AB\perp BC$
$\vec{CD}.\vec{DA}=-5.5+(-5).(-5)=0\to AD\perp CD$
$\to \widehat{ABC}+\vec{ADC}=180^o\to \Diamond ABCD$ nội tiếp
e.Từ câu C
$\to X=|\vec{MA}+\vec{MP}+\vec{MC}+\vec{MD}|=4|\vec{ME}|$
Gọi $EH\perp \Delta =H$
$\to |vec{ME}|\ge |\vec{EH}|$
$\to Min_X=4|vec{EH}| $ khi $H\equiv M$
Không có Max
