Xét \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(\sqrt {{a^2} + ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + ac + {a^2}} .\)A.\(9\)B.\(6\)C.\(6\sqrt 6\)D.\(9\sqrt 3\)

gv.thcsdaidong2018

2 năm trước

Xét \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(\sqrt {{a^2} + ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + ac + {a^2}} .\)
A.\(9\)
B.\(6\)
C.\(6\sqrt 6\)
D.\(9\sqrt 3\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 33 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

cutephamlove

Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:\(\sqrt {{a^2} + ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + ac + {a^2}} .\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt {a + 1} \) và \(2\) ta có:
\(a + 1 + 4 \ge 2.2\sqrt {a + 1} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {a + 1} \le \dfrac{{a + 5}}{4}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {b + 1} \le \dfrac{{b + 5}}{4}\\\sqrt {c + 1} \le \dfrac{{c + 5}}{4}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \le \dfrac{{a + 5}}{4} + \dfrac{{b + 5}}{4} + \dfrac{{c + 5}}{4}\\ \Leftrightarrow \sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \le \dfrac{{a + b + c}}{4} + \dfrac{{15}}{4}\end{array}\)
Theo đề bài ta có: \(\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} = 6\)
\( \Rightarrow \dfrac{{a + b + c}}{4} + \dfrac{{15}}{4} \ge 6\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + c}}{4} \ge \dfrac{9}{4}\)\( \Leftrightarrow a + b + c \ge 9\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 3.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + ab + {b^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a + b} \right)\\\sqrt {{b^2} + bc + {c^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{4}{{\left( {b - c} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}{{\left( {b + c} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {{a^2} + ac + {c^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{4}{{\left( {a - c} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}{{\left( {a + c} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a + c} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \sqrt {{a^2} + ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + ac + {a^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a + b + b + c + c + a} \right) = \sqrt 3 \left( {a + b + c} \right) \ge 9\sqrt 3 \end{array}\)
Dâu “=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\\a + b + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 3\)
Vậy \(Min\,\,P = 9\sqrt 3 \) khi \(a = b = c = 3.\)
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Dãy các ion nào có thể tồn tại trong cùng một dung dịch:
A.Mg2+; CO32-; K+; SO42-
B.H+; NO3-; Al3+; Ba2+
C.Al3+; Ca2+ ; SO32-; Cl-
D.Pb2+; Cl-; Ag+; NO3-

Cặp chất sau đây tồn tại trong cùng một dung dịch:
A.Fe2O3 + HNO3
B.MgCO3 + HCl
C.MgSO4 + KOH
D.CuCl2 + Na2SO4

Hidroxit sau đây không có tính lưỡng tính là:
A.Pb(OH)2
B.Al(OH)3
C.Cr(OH)2
D.Zn(OH)2

Trong số chất sau, chất nào là chất điện li mạnh
A.KCl; Fe(NO3)2; Ba(OH)2
B.KCl; Ba(OH)2; H2SO3
C.KCl; Fe(NO3)2; Mg(OH)2
D.Fe(NO3)2; BaSO3; Mg(OH)2

Định nghĩa axit và bazơ theo thuyết Bronstet:
A.Định nghĩa axit và bazơ theo thuyết Bronstet:
B.Axit là chất cho proton H+ và bazơ là chất nhận proton H+
C.Axit là chất chứa nguyên tử hidro H trong phân tử và bazơ là chất chứa nhóm hidroxit OH- trong phân tử
D.Axit có vị chua và bazơ có vị nồng như vôi.

Nồng độ ion H+ trong dung dịch thay đổi như thế nào để pH của dung dịch tăng lên 1 đơn vị:
A.giảm 10 lần.
B.tăng thêm 1 mol/l.
C.tăng 10 lần.
D.giảm đi 1 mol/l.

Để khôi phục kinh tế sau chiến tranh, tháng 3/1921 Lê nin và Đảng- sê-vich đã
A.ban hành Chính sách cộng sản thời chiến.
B.ban hành Sắc lệnh hòa bình và Sắc lệnh ruộng đất.
C.ban hành Chính sách kinh tế mới.
D.cải cách chính phủ.

Theo thỏa thuận của Hội nghị Pôtxđam (8/1945), việc giải giáp quân Nhật ở Đông Dương được giao cho
A.Anh và Pháp
B.Anh và Trung Hoa Dân quốc
C.Anh và Mĩ
D.Pháp và Trung Quốc

Phản ứng trao đổi ion trong dung dịch xảy ra khi sản phẩm tạo thành:
A.Là chất kết tủa
B.Là chất dễ bay hơi.
C.Là chất điện li yếu
D.Hoặc A hoặc B hoặc C

Trong giai đoạn 1919-1925, cuộc vận động người Việt Nam chỉ dùng hàng Việt Nam, “chấn hưng nội hóa”, “bài trừ ngoại hóa” là hoạt động đấu tranh của giai cấp nào dưới đây?
A.Tư sản.
B.Tiểu tư sản.
C.Công nhân.
D.Nông dân.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến