Đáp án + Giải thích các bước giải:
1) $2sin^2x+3\sqrt{3}sinxcox-cos^2x=4$ $(1)$
+) Với $cosx=0$ thì $sin^2x=1$
$(1)$ ⇒ $2×1+0-0=4$
⇔ $ 2=4$ (vô lý)
→ Loại trường hợp $cosx=0$
+) Với $cosx\neq0$ chia 2 vế cho $cos^2x$
$(1)$ ⇒ $2tan^2x+3\sqrt{3}tanx-1=4(1+tan^2x)$
⇔ $2tan^2x+3\sqrt{3}tanx-1=4+4tan^2x$
⇔ $2tan^2x-3\sqrt{3}tan+5=0$ $(2)$
Đặt $t=tanx$
$(2)$ ⇒ $2t^2-3t+5=0$
$Δ=(-3)^2-4×2×5=-31<0$
⇒ Phương trình vô nghiệm.
2) $cos^2x+3sin^2x+2sinxcosx-1=0$ $(4)$
+) Với $cosx=0$ thì $sin^2x=1$
$(4)$ ⇒ $0+3+0-1=0$
⇔ $2=0$ (vô lý)
→ Loại trường hợp $cosx=0$
+ Với $cosx\neq0$ chia cho 2 vế cho $cos^2x$
$(4)$ ⇒ $1+3tan^2x+2tanx-(1+tan^2x)=0$
⇔ $1+3tan^2x+2tanx-1-tan^2x=0$
⇔ $2tan^2x+2tanx=0$ $(5)$
Đặt $t=tanx$
$(5)$ ⇒ $2t^2+2t=0$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=0\end{array} \right.\)
Với $tanx=1$ ⇒ $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ $(k∈\mathbb{Z})$
Với $tanx=0$ ⇒ $x=k\pi$ $(k∈\mathbb{Z})$
Vậy phương trình $(4)$ có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=k\pi\end{array} \right.\) $(k∈\mathbb{Z})$
