Giả sử phản chứng rằng tồn tại $x \in \mathbb{Q}$ sao cho $x^2 = 2$.
Khi đó, ta có các số nguyên $m, n$ sao cho
$x = \dfrac{m}{n}, UCLN(m, n) = 1, n \neq 0$
và
$\left( \dfrac{m}{n} \right)^2 = 2$
$\Leftrightarrow m^2 = 2n^2$
Do $2$ là số nguyên tố nên $m$ phải chia hết cho $2$. Vậy tồn tại $k$ sao cho $m = 2k$. Thay vào ta có
$(2k)^2 = 2n^2$
$<-> 4k^2 = 2n^2$
$<-> n^2 = 2k^2$
Lập luận tương tự ta cũng có $n$ chia hết cho $2$.
Suy ra $2$ là ước chung của $m$ và $n$ (vô lý do $UCLN(m, n) = 1$)
Vậy ko tồn tại $x \in \mathbb{Q}$ sao cho $x^2 = 2$.