Đáp án:
\[\frac{{ - 4}}{3} < m < - 1\]
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ne 0\\
' > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m + 1} \right).\left( {4m + 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
{m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} - 5m - 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
- 3{m^2} - 7m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
- \frac{7}{3} < m < 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
Khi đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{4m + 1}}{{m + 1}}
\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có 1 nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{4m + 1}}{{m + 1}} - \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}} + 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{4m + 1 - 2m + 2 + m + 1}}{{m + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{3m + 4}}{{m + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < m < - 1\,\,\,\,\,\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)
\end{array}\)
