Giải thích các bước giải:
Ta có $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình
$\to \begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1x_2=1\end{cases}$
$\to S_0=x_1^0+x_2^0=2\in Z$
$S_1=x_1^1+x_2^1=6\in Z$
$S_2=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=34\in Z$
$\to S_2=6S_1-S_0$
Giả sử $S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k$
Ta sẽ chứng minh $S_{k+3}=6S_{k+2}-S_{k+1}$
Thật vậy ta có:
$S_{k+3}= x_1^{k+3}+x_2^{k+3}$
$\to S_{k+3}= (x_1^{k+2}+x_2^{k+2})(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1^{k+1}+x_2^{k+1})$
$\to S_{k+3}= S_{k+2}\cdot 6-1\cdot S_{k+1}$
$\to S_{k+3}= 6S_{k+2}-S_{k+1}$
$\to S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k$ đúng
Ta có: $S_0, S_1 , S_2\in Z$
Giả sử $n=k\to S_k\in Z$
Ta chứng minh $n=k+1\to S_{k+1}\in Z$
Thật vậy do $n=k$ đúng
$\to S_{k}, S_{k-1}\in Z$
Mà $S_{k+1}=6S_k-S_{k-1}\in Z$
$\to S_k\in Z, \forall k\in N$
Ta có:
$S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k=6(6S_k-S_{k-1})-S_k=35S_k-5S_{k-1}-S_{k-1}=5(7S_k-S_{k-1})-S_{k-1}$
$\to S_{k+2}\equiv -S_{k-1} (mod 5)(*)$
Ta có $S_0\equiv 2(mod 5)$
$S_1\equiv 1(mod 5)$
$S_2\equiv 4(mod 5)$
Từ $(*)$ Suy ra:
$S_3\equiv -2(mod 5)$
$S_4\equiv -1(mod 5)$
$S_5\equiv -4(mod 5)$
Suy ra:
$S_6\equiv 2(mod 5)$
$S_7\equiv 1(mod 5)$
$S_8\equiv 4(mod 5)$
......
$\to S_{3k}\equiv (-1)^{3k}\cdot 2(mod 5)$ hay với $n$ chia hết cho $3\to S_n$ chia $5$ dư $2$
$S_{3k+1}\equiv (-1)^{3k+1}\cdot 1(mod 5)$ hay với $n$ chia $3$ dư $1\to S_n$ chia $5$ dư $1$
$S_{3k+2}\equiv(-1)^{3k+2}\cdot 4(mod 5)$ hay với $n$ chia $3$ dư $2\to S_n$ chia $5$ dư $4$
