Giả sử có n số tự nhiên phân biệt khác 0, có tính chất của tổng hai số bất kỳ trong chúng là một lũy thừa của 2020. Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của n.
Giải:
Ta giả sử `n>3.`
Tức là tồn tại ít nhất bốn số a,b,c,d sao cho:
\(\left[ \begin{array}{l}a+b=2020^x\\b+c=2020^y\\c+d=2020^z\end{array} \right.\) và \(\left[ \begin{array}{l}a+c=2020^m\\a+d=2020^n\\b+d=2020^p\end{array} \right.\)
Với `x,y,z,m,n,p` là các số tự nhiên phân biệt.
Ta có: $2(a+b+c+d)=2020^x+2020^z+2020^m+2020^p$
Vô lí do `x,y,z,m,n,p` là các số tự nhiên phân biệt.
Sai $⇒n\leq3$
Ta có $n=3$ thỏa mãn.
`→`
$⇒$\(\left[ \begin{array}{l}a+b=2020^x\\b+c=2020^y\\a+c=2020^z\end{array} \right.\) $với mọi x,y,z là các số tự nhiên phân biệt.$
$⇒$\(\left[ \begin{array}{l}a=\frac{2020^x+2020^y+2020^z}{z}\\b=\frac{2020^x+2020^y-2020^z}{z}{}\\c=\frac{2020^y+2020^z-2020^x}{z}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị lớn nhất của $n=3$
$#minosuke$
