Đáp án:
a) $\left\{\begin{array}{l} x = - 100^\circ + \dfrac{{k4\pi }}{3}\\ x = - 60^\circ + \dfrac{{k4\pi }}{5} \end{array} \right. $
b) $ x = 2k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\dfrac{\pi}{5}$ và $x = 2k\dfrac{\pi}{5}$ và $x = (2k+1) \pi$.
c) $ x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
$(k\in\mathbb Z)$
Lời giải:
a)
$\begin{array}{l} \cos \dfrac{x}{2} = \cos \left( {2x - 30^\circ + 180^\circ } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + 150^\circ = \dfrac{x}{2} + k2\pi \\ 2x + 150^\circ = - \dfrac{x}{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 100^\circ + \dfrac{{k4\pi }}{3}\\ x = - 60^\circ + \dfrac{{k4\pi }}{5} \end{array} \right. \end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm $\left\{\begin{array}{l} x = - 100^\circ + \dfrac{{k4\pi }}{3}\\ x = - 60^\circ + \dfrac{{k4\pi }}{5} \end{array} \right. $ $(k\in\mathbb Z)$
b)
$\sin^2(2x) = \sin^2(3x)$
$\Leftrightarrow(\sin(2x)-\sin(3x))(\sin(2x)+\sin(3x)) = 0$
$\Leftrightarrow \sin(2x) = \sin(3x)$ hoặc $\sin(2x) = -\sin(3x)$
$\Leftrightarrow 2x = 3x + 2k\pi$ hoặc $2x = \pi - 3x + 2k\pi$ hoặc $\sin(2x) = \sin(-3x)$
$\Leftrightarrow x = 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\dfrac{\pi}{5}$ hoặc $2x = -3x + 2k\pi$ hoặc $2x = \pi + 3x + 2k\pi$
$\Leftrightarrow x = 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\dfrac{\pi}{5}$ hoặc $x = 2k\dfrac{\pi}{5}$ hoặc $x = (2k+1) \pi$.
Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\dfrac{\pi}{5}$ hoặc $x = 2k\dfrac{\pi}{5}$ hoặc $x = (2k+1) \pi$.
c).
Phương trình tương đương vs
$\sin x.\dfrac{1}{2} - \cos x. \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2(\cos x \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sin x . \dfrac{1}{2}) = 0$
$\Leftrightarrow \cos x. \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sin x.\dfrac{1}{2} = 0$
$\Leftrightarrow \sin(\dfrac{\pi}{3}) \cos x - \sin x .\cos(\dfrac{\pi}{3}) = 0$
$\Leftrightarrow\sin(\dfrac{\pi}{3} -x) = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3} -x = k\pi$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
Vậy nghiệm của phương trình là $ x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
