Giải thích các bước giải:
Bài 1:
\(\begin{array}{l}
1,\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x + 3} \right) = 2.2 + 3 = 7\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 7 = f\left( 2 \right)
\end{array}\)
Do đó, hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\)
\(\begin{array}{l}
2,\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{x - 6}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \frac{{\left( {\sqrt {x - 2} - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 2} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right) - {2^2}}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \frac{{x - 6}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x - 2} + 2}}\\
= \frac{1}{{\sqrt {6 - 2} + 2}} = \frac{1}{4}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {3x + 5} \right) = 3.6 + 5 = 23\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right)
\end{array}\)
Do đó, hàm số đã cho không liên tục tại \(x = 6\)
Bài 2:
a,
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + x - 7\) ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2{x^3} + x - 7\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = {2.0^3} + 0 - 7 = - 7\\
f\left( 2 \right) = {2.2^3} + 2 - 7 = 11
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do \(f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên (0;2) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (0;1)
b,
Ta có:
\({x^5} + 2{x^2} - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta thấy \(x = 1\) là 1 nghiệm của phương trình trên.
Do đó, phương trình trên có ít nhất 1 nghiệm.
